La civilización del Valle del
Río Indo
Cuando
empezamos a estudiar sobre las diferentes civilizaciones nos damos cuenta que
todas han aportado al conocimiento matemático, como son la Babilónica, la
Egipcia, la Griega, la China, y otras grandes civilizaciones con grandes
pensadores, pero le prestamos muy poca importancia a la civilización que fue
conocida como la
cuna de los números, que fueron después adoptados
en todas partes del mundo. Estos conocimientos fueron llevados y adoptados por
las escuelas Árabes y de esta forma fue como los símbolos de los
números tomaron el nombre de Indoarabigos.
La cuna de
los números se ubicó en el delta del río Indo y de allí surgió su nombre, la civilización del
Valle del río Indo, en donde se realizaron descubrimientos muy importantes
para el desarrollo de las matemáticas, pues durante esa civilización existieron
dos ciudades muy importantes Harappa y Mohenjo Darpa,
las cuales eran únicas en ese tiempo y se asemejan mucho a las actuales
ciudades las cuales florecieron gracias a la utilización de la escritura que
permitieron llevar datos tanto matemáticos como también literarios. Estas
ciudades eran construidas con ladrillo cocido al igual que contaban con
alcantarillado, también tenía baños públicos y sus calles contaban con pequeños
canales que eran los desagües. Esas ciudades fueron muy bien planificadas
y se encontraban almacenes, graneros e inclusive una piscina artificial que fue
la primera conocida a nivel mundial
En esta
civilización se conocen muchos matemáticos pero los más importantes fueron Brahmagupta (598
a 670 A.C.) A este matemático se le atribuye el descubrimiento del Cero, se
dice este fue un astrónomo matemático aunque fue director del observatorio
astronómico de Ujjain, pues le gustaba resolver problemas matemáticos solamente
para pasar el tiempo y esto le producía placer. A nivel de matemáticas sus
aportes o descubrimientos más importantes fueron los siguientes:
Descubrió
de cómo resolver ecuaciones cuadráticas, al igual que también escribió sobre el
PI, y realizó el Hallazgo apreciado al verdadero valor de este. También
encontró la fórmula para encontrar él área de cualquier forma de cuatro lados.
Además dio a conocer algunas propiedades de los números enteros, como por
ejemplo que si se suma dos números negativos da como resultado un valor negativo,
si se suma un valor negativo con un positivo pueda dar cualquier valor ya sea
negativo o positivo; que si multiplicamos dos números negativos el valor es un
número positivo, si dividimos un valor negativo por un positivo o viceversa da
como resultado un número negativo. También dio un aporte muy importante como es
el valor
posicional decimal, y otros descubrimientos para la astronomía como que la
luna estaba mucho más cerca de la tierra que del sol, y que la duración
de un año fue de 365 días 6 horas, 9 segundos.
Otro
matemático muy importante fue Bhaskara quien
escribió principalmente sobre Matemáticas elementales en su obras, en donde
trata los temas preferidos de los Hindúes como las ecuaciones lineales,
cuadráticas determinadas e indeterminadas, las medidas, las progresiones
aritméticas y geométricas, los números irracionales, los temas pitagóricas y
numerosos problemas de naturaleza geométrica y algebraica.
En resumen
los aportes de la civilización
del Valle del Río del Indo han sido muy importantes ya que estos fueron
tomados por las escuelas Árabes que luego pasaron a Europa, además de ser tan
importante es la más antigua de las civilizaciones y la más desarrollada a
nivel cultural como a nivel matemático. (Contribución de Luis Carlos
Castellanos)
Reseñas Adicionales
La civilización Babilonia.
Los
Babilonios vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre
los ríos Tigris y Éufrates, hacia finales del milenio IV a.C. Ellos desarrollaron una forma
abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes. Sus símbolos fueron
escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol, de estas tablillas han
sobrevivido miles hasta nuestros días, por lo que gracias a ello, se ha
podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas.
El uso de una arcilla blanda condujo a la utilización de símbolos cuneiformes
sin líneas curvas porque no podían ser dibujadas.
El aspecto más asombroso de las habilidades de los cálculos de los Babilonios
fue su construcción de tablas para ayudar a calcular.
De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las
matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de
recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc. Los problemas que se planteaban eran
sobre cuentas diarias, contratos, préstamos de interés simple y
compuesto. En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de
los triángulos semejantes; en álgebra descubrieron problemas de segundo,
tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de
ecuaciones.
Los textos de matemática babilónica
son abundantes y están bien editados; se pueden clasificar en dos períodos
temporales: el referido a la Antigua Babilonia (1830-1531 a. C.) y el
correspondiente al seléucida de los últimos tres o cuatro
siglos a. C. Los Babilonios fueron los pioneros
en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagésimal y lo
hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto
en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días.
El sistema de numeración Babilónico
tuvo una gran desventaja debido a la falta de un cero. Para poder interpretar
números en los que se hallaba el cero, como el 3601, debía guiarse según el
contexto en que éste se encontraba. Los Babilonios tenían una tabla en
la que se hallaban escritos todos los cuadrados necesarios para multiplicar.
Ellos utilizaban formulas para multiplicar ya que para ellos era muy difícil.
La división fue para los Babilonios
un proceso más difícil. No tuvieron un algoritmo para la división larga; se
basaban en que (a/b igual a1/b) de modo que fue necesaria una tabla de números
recíprocos.
En la actualidad aún se conservan
estas tablas, con números recíprocos mayores que varios miles de millones. Las
tablas en su notación numérica (que se han traducido a nuestra notación) tienen
como base 60. Este problema de los Babilonios se basa en el teorema de Pitágoras porque los Babilonios tenían diversos métodos de repetición para encontrar la raíz cuadrada de un número aunque estos métodos eran muy complejos.
[Contribución por Anyi Paola Vallejos]
La Civilización Griega
Una de las
culturas antiguas que ha realizado descubrimientos muy significativos e
importantes es la civilización Griega (600 a. C. - 300 d. C.)
La
civilización griega buscó la armonía entre la perfección y la belleza, y así lo
manifestó en sus obras filosóficas, científicas, arquitectónicas y artísticas;
legado que constituyó la base de la cultura del mundo occidental.
Es
inevitable referirse a Grecia, a la matemática griega, cuando se pretende mirar
la historia de las Matemáticas. La aportación de los numerosos e importantes
matemáticos y filósofos griegos como Tales, Pitágoras y su
escuela, Euclides, Arquímedes fue trascendental en el
desarrollo de esta rama del saber.
Se afirma
que en esta época las Matemáticas alcanzan ya su madurez como ciencia,
cosa que con otras ciencias ocurriría cientos de años más tarde. En la época
helenística, las Matemáticas ya adquieren un cuerpo y una reflexión teórica muy
importantes, tienen una estructura que permanecerá a lo largo de la historia:
Los descubrimientos de los griegos se siguen estudiando en los cursos de
Matemáticas.
Aunque las Matemáticas ya eran
avanzadas en civilizaciones anteriores como la babilónica y la egipcia, su preocupación por esta ciencia era
meramente inductiva (repetidas observaciones usadas para establecer reglas
generales) y práctica (medir, construir, contar, etc.) Sin embargo, los
matemáticos griegos se preocuparon por reflexionar sobre la naturaleza de los
números, la idealidad del concepto numérico, la naturaleza de los "objetos"
matemáticos (geometría).
La Escuela Jónica fundada por Tales de Mileto (en torno al 600 a.C.),
fue la primera en comenzar el estudio científico de la Geometría. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas
geométricos mediante el razonamiento lógico.
Más tarde
a la Escuela Pitagórica fundada por Pitágoras (en torno al 550 a.C.), se le atribuyen
numerosos descubrimientos matemáticos como los números irracionales entre
otros y el conocido Teorema de
Pitágoras :
"En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos."
Para mi es
de gran importancia los aportes que esta cultura griega hizo a la matemática a
través de personajes como Pitágoras
quien expuso el teorema que lleva su nombre y el cual nos ayuda mucho en las
actividades cotidianas aunque no estemos conscientes de ello. Por ejemplo, si
tienes que construir una escalera, puedes calcular el largo de la misma
sabiendo las dimensiones del lugar donde tienes que instalarla.
El Teorema
de Pitágoras también sirve para resolver
una multitud de problemas; por ejemplo de cálculo de distancias en el plano,
en los mapas, en la realidad.
Si estás programando un juego y
quieres que dos personajes se choquen, con la ayuda del Teorema de Pitágoras
puedes encontrar la distancia entre los dos puntos.
Como
podemos ver gracias al Teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar
longitudes donde intervienen triángulos rectángulos.
Es
imprescindible citar a ARQUÍMEDES (285 a.C.), quien fue el mayor
matemático de la antigüedad. Se le atribuye: la determinación de los volúmenes
del cilindro y de la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola, el
empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad, etc. Estos
descubrimientos abrieron el camino a la mecánica y al cálculo integral.
Eudoxio (408 al 355 a. C.) desarrolló
el método
exhaustivo,
un precursor de la moderna integración. Aristóteles (384 al 322 a. C.)
fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides (hacia
el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología
matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones.
También estudió las cónicas. Su libro Elementos fue conocido por todo el mundo
occidental oculto hasta la mitad del siglo XX.
Los matemáticos griegos convirtieron las Matemáticas en una ciencia
racional y estructurada con propiedades auto-evidentes, pues usaban el
razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones
o teoremas a partir de definiciones y axiomas. La idea de las matemáticas como un
entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (300 a.C). Todos estos aportes y descubrimientos hacen parte del fundamento de las matemáticas y tecnologías modernas como el GPS, celulares y muchos mas herramientas.
Reseña de la Civilización China
Para dar una visión panorámica de la cultura matemática china, los primeros trabajos matemáticos comenzaron a surgir a partir del 200 a.C, es decir, a partir de la dinastía Han. En ese tiempo se compiló uno de los textos clásicos de las matemáticas chinas que tuvo una extraordinaria influencia: el Chiu Chang Suan Shu(Nueve capítulos sobre las artes matemáticas), lo cual fue equivalente al trabajo griego los "Elementos de Euclides". Sus creadores fueron Chang Shang (c. 150 a.C.) y Keng Shou Chang (c. 50 a.C.) En un periodo posterior a este se reconoce el trabajo de dos matemáticos: Sun Tsu (c. 300 d.C.) y Tsu Chung Chih (c. 450 d.C.) en el que hace referencia por primera vez al análisis indeterminado. Y un par de siglos después, en el año 656 D.C, apareció una enciclopedia matemática: Suan Ching Shih Shu (Los diez manuales matemáticos) que ejerció su influencia en los siglos posteriores.
Durante la dinastía Sung (960 - 1,279 d.C) se alcanzaron importantes logros en las matemáticas como la resolución numérica de ecuaciones de todos los grados y nueves resultados en el análisis indeterminado encontrados en el libro Tshe Yuan Hai Ching, como también resultados en series, ecuaciones de segundo grado con coeficientes negativos de ecuaciones numéricas de orden superior encontrados en Chang Suan Fa Tsuan Lei (Análisis detallado de los nueve capítulos).Entre 1,299 y 1,303 d.C aparecen dos tratados Suan Shu Chi Meng (Introducción a los estudios matemáticos) y Szu Yuen Yu Chien (El precioso espejo de los cuatro elementos) donde se encuentra el llamado triángulo de Pascal, métodos para resolver ecuaciones de grados superiores, resolución de ecuaciones usando un método diferente, por medio de las matrices. La primera obra de la trigonometría esférica también surge en esos tiempos. Se dice que los chinos crearon un sistema posicional con 9 números, que se adelanta un milenio a los hindúes.
A partir del siglo XIII (13) es que se observa un mejor desarrollo de los chinos en las matemáticas como: la resolución de ecuaciones numéricas de orden superior, basada en la extracción de raíces cuadráticas y cúbicas del Chiu Chang y en el uso de triángulo de Pascal. Este método se rastrea desde Chia Hsien (c. 1050), y se identifica con el nombre de li cheng shih shuo (resolución de coeficientes mediante una gráfica). Hubo también fórmulas de interpolación cúbica (Kuo Shou Ching, c. 1275), algo parecido al método de Newton-Stirling que no se ampliaría en Europa sino hasta el siglo XIX (19)
Se puede apreciar que aunque la Civilización China empezó tarde en sus trabajos matemáticos en comparación a otras civilizaciones, no solo descubrieron por si mismos muchos de los principios matemáticos ya descubiertos por los griegos sino que se adelantaron por siglos y milenios a otras civilizaciones y Europa. Aunque la historia y la cultura influye en ciertos aspectos, la moraleja no consiste en que los Chinos y orientales son mejores que otros en las matemáticas por el simple hecho de tener ojos rasgados, sino porque sus metodologías, cualesquiera que hayan sido, les permitieron alcanzar a otras civilizaciones, sobresalir y sobrepasar por siglos y milenios en descubrimientos a otros países Europeos. Por lo tanto, no debemos desanimarnos porque exista demasiada información o competencia en el exterior, sino mas bien encontrar y pensar en las metodologías más sencillas, eficaces y prácticas que logren abarcar más terreno, avances y calidad en su aplicación.
[Giselle Bautista Garcia]
